Question

7．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
（1）如图（1），AC、BD相交于点O，延长BC到点E，使得CE=AO，若AB=2，求OE的长；
（2）如图（2），点P在AC延长线上，点E在BC延长线上，若AP=CE，求证：BP=EP

Answer 1

分析 （1）证明△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°=∠E+∠EOC，证出OB=OE，由三角函数求出OB，即可得出OE的长；
（2）先由SAS证明△ABP≌△CDE，得出BP=DE，∠ABP=∠CDE，再由SAS证明△BCP≌△DCP，得出DP=BP，∠CBP=∠CDP，得出DP=DE，然后证明△DPE是等边三角形，即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC，AC⊥BD，AO=CO，∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵CE=AO，
∴CE=CO，
∴∠E=∠EOC，
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°=∠E+∠EOC，
∴∠E=∠EOC=30°=∠OBC，
∴OB=OE，
∵AB=2，∠ABO=30°，
∴OB=AB•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴OE=$\sqrt{3}$；
（2）证明：连接DP、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠BAC=∠DAC，
∴∠DCE=∠ABC=60°，∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABP和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠BAC=∠DCE}&{\;}\\{AP=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴BP=DE，∠ABP=∠CDE，
又∵AC平分∠DCB，
∴∠ACB=∠ACD=60°，
∴∠BCP=∠DCP=120°，
在△BCP和△DCP中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCP=∠DCP}&{\;}\\{CP=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS）
∴DP=BP，∠CBP=∠CDP，
∴DP=DE，
∠CDE-∠CDP=∠ABP-∠CBP，
即∠EDP=∠ABC=60°，
∴△DPE是等边三角形，
∴DE=PE，
∴BP=EP．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要两次证明三角形全等才能得出结论．