Question

14．关于x的方程（x²-1）²-（x²-1）+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
其中错误的个数是1．

Answer 1

分析 令m=x²-1即x²=m+1，则原方程可变形为m²-m+k=0，由方程恰有1个实根知x²=m+1=0可得m=-1，再代回方程m²-m+k=0求得k的值，继而可得原方程的根，从而判断①、③，若方程有两个实数根，则△=1-4k=0求得k的值，代入方程m²-m+k=0求得m，继而根据m=x²-1求出x，从而判断②；根据方程有四个实数根，则△=1-4k＞0，结合以上k的值可判断④．

解答 解：令m=x²-1，则x²=m+1，原方程可变形为m²-m+k=0，
若原方程恰有1个实数根，则x²=m+1=0，即m=-1，
则1+1+k=0，
即k=-2，
∴m²-m-2=0，
解得：m=-1或m=2，
即x²-1=-1，或x²-1=2，
解得：x=0或x=$±\sqrt{3}$，
此时方程有三个不等的实数根，
故不存在实数k，使得方程恰有1个实根，①错误；
当k=-2时，使得方程恰有3个不同的实根，③正确；
若方程有两个实数根，则△=1-4k=0，
解得：k=$\frac{1}{4}$，
当k=$\frac{1}{4}$时，方程为m²-m+$\frac{1}{4}$=0，解得m=$\frac{1}{2}$，
即x²-1=$\frac{1}{2}$，
解得：x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故当k=$\frac{1}{4}$时，使得方程恰有2个不同的实根，②正确；
若方程有四个实数根，则△=1-4k＞0，
即k＜$\frac{1}{4}$且k≠-2时，方程恰有4个不同的实根，④正确；
故答案为：1．

点评 本题主要考查命题与证明，熟练掌握换元思想及一元二次方程根的判别式是解题的关键．