Question

如图1所示，直角梯形OABC的顶点C在x轴正半轴上，AB∥OC，∠ABC为直角，过点A、O作直线l，将直线l向右平移，设平移距离为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为s，s关t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线．
（1）求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；
（2）如图3，矩形ODEF的两边OD、OF分别落在坐标轴上，且OD=4，OF=3，将矩形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设矩形ODEF的顶点O向右平移的距离为x（0＜x＜7），求矩形ODEF与梯形OABC重叠部分面积S与x的函数关系式．
（3）当平移距离x=______时，重叠部分面积S取最大值______．

Answer 1

解：（1）由图2知，M点的坐标是（2，8）
∴由此判断：AB=2，BC=4；
∵N点的横坐标是4，NQ是平行于x轴的射线，
∴CO=4，
∴直角梯形OABC的面积为：（AB+OC）•BC=（2+4）×4=12；

（2）当0＜x≤2时，S=x²；
当2＜x≤3时，S=4x-4；
当3＜x≤4时，S=-x²+10x-13；
当4＜x≤5时，S=-x²+6x+3；
当5＜x≤7时，S=28-4x．

（3）当0＜x≤2时，x=2，S有最大值为4；
当2＜x≤3时，x=3，S有最大值为8；
当3＜x≤4时，x=3，S有最大值为11；
当4＜x≤5时，S＜11；
当5＜x≤7时，S＜8．
故当平移距离x=4时，重叠部分面积S取最大值11．
故答案为：4，11．
分析：（1）结合两个图形可知M点坐标为（2，8），从而得AB=2，BC=4；由N的横坐标为4，即可得直角梯形的面积；
（2）依据题意将图形平移，由于移动的距离不同，分重叠部分为三角形、梯形、五边形和矩形等情况讨论求解；
（3）根据一次函数和二次函数的增减性可知，平移距离为4时，重叠部分面积S取最大值．
点评：考查了二次函数综合题，（1）要求学生的阅读理解能力及灵活运用直角梯形、三角形面积等知识的能力；（2）（3）的常见错误：对数学思想方法（运动思想、分类思想）缺乏，“动”中求“静”的思维方法不能掌握．在求解时不能很好地利用操作的过程去完成解答．