Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图像经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．

（1）求：二次函数的解析式及B点坐标；
（2）若将抛物线以为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数，已知二次函数与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D．点E、点F也随之运动）；
①当点E在二次函数y₁的图像上时，求OP的长.
②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）.过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值.

Answer 1

（1），B（3，0）；（2）①；②或或或2．

试题分析：（1）利用二次函数的图象经过原点及点A（1，2），分别代入求出a，c的值即可；
（2）①过A点作AH⊥x轴于H点，根据DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，进而求出OP的长；
②分别利用当点F、点N重合时，当点F、点Q重合时，当点P、点N重合时，当点P、点Q重合时，求出t的值即可．
试题解析：（1）∵二次函数的图象经过原点及点A（1，2），∴将（0，0），代入得出：c=0，将（1，2）代入得出：a+3=2，解得：，故二次函数解析式为：，∵图象与x轴相交于另一点B，∴，解得：x=0或3，则B（3，0）；
（2）①由已知可得C（6，0），如图：过A点作AH⊥x轴于H点，∵DP∥AH，∴△OPD∽△OHA，∴，即，∴PD=2a，∵正方形PDEF，∴E（3a，2a），∵E（3a，2a）在二次函数y₁=﹣x²+3x的图象上，∴a=；即OP=；
②如图1：

当点F、点N重合时，有OF+CN=6，∵直线AO过点（1，2），故直线解析式为：y=2x，当OP=t，则AP=2t，∵直线AC过点（1，2），（6，0），代入y=ax+b，，，解得：，故直线AC的解析式为：，∵当OP=t，QC=2t，∴QO=6﹣2t，∴GQ=，即NQ=，∴OP+PN+NQ+QC=6，则有，解得：；
如图2：

当点F、点Q重合时，有OF+CQ=6，则有，解得：；
如图3：

当点P、点N重合时，有OP+CN=6，则有，解得：；
如图4：

当点P、点Q重合时，有OP+CQ=6，则有，解得：．故此刻t的值为：，，，．