Question

已知反比例函数y=

m

x

的图象经过点A（-2，1），一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A和点B（-1，2），
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）在x轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）反比例函数y₁=

m

x

的图象经过点A（-2，1），代入即可求出解析式，同理一次函数的图象经过点A（-2，1），B（-1，2），根据待定系数法即可求出函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，则S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC；
（3）显然存在．分别以A、P、O为等腰三角形的顶点进行讨论．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

m

x

的图象经过点A（-2，1），
∴1=

m

-2

，m=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-

2

x

（2分）
∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，1）和点B（-1，2），
∴

-k+b=2 -2k+b=1

，
解得

k=1 b=3

，
∴一次函数的解析式为y=x+3；

（2）设直线AB与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，3）．
∵S_△AOC=

1

2

×3×2=3，S_△BOC=

1

2

×3×1=1.5，
∴S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=3-1.5=1.5；

（3）在x轴存在点P，使△OAP为等腰三角形．
当AP=AO时，点P的坐标为：（-4，0）；
当PA=PO时，点P的坐标为：（-1.25，0）；
当OA=OP时，点P的坐标为：（

5

，0），（-

5

，0）．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积和等腰三角形的性质．此题难度在后两个问题，主要运用了：（1）分割转化思想，（2）分类讨论思想．