Question

4．抛物线y=mx²-2mx+m-4与y轴负半轴交于点C，与x轴交于点A，B（B点在A点的右侧），点P是抛物线上对称轴上的一动点，且△OCP的面积为$\frac{3}{2}$．
（1）求m的值；
（2）△PBC的面积为2，直接写出P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知m大于0，进而求出抛物线的对称轴以及顶点坐标和点C的坐标，结合△OCP的面积为$\frac{3}{2}$即可求出m的值；
（2）设P点坐标为（1，a），直线BC的解析式为y=kx-3，直线BC与对称轴交点为D（1，n），进而求出直线BC与对称轴的交点D的坐标，结合△PBC的面积为2即可求出a的值．

解答 解：（1）根据题意可知m＞0，
∵y=mx²-2mx+m-4，
∴y=m（x-1）²-4，
∴抛物线对称轴x=1，顶点坐标为（1，-4），点C坐标为（0，m-4），
∵△OCP的面积为$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×（4-m）×1=$\frac{3}{2}$，
∴m=1；

（2）设P点坐标为（1，a），
∵m=1，
∴y=mx²-2mx+m-4=x²-2x-3，
∴点A坐标为（-1，0）B（3，0），C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx-3，直线BC与对称轴交点为D（1，n），
把点B（3，0）代入可得k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∵D（1，n）在直线BC上，
∴n=1-3=-2，
∴D点坐标为（1，-2），
∴PD=|a+2|，
∵△PBC的面积为2，
∴$\frac{1}{2}$×|a+2|×3=2，
∴a=-$\frac{2}{3}$或-$\frac{10}{3}$，
∴P点坐标为（1，-$\frac{2}{3}$）或（1，-$\frac{10}{3}$）．

点评 本题主要考查令抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线的解析式，此题涉及求三角形的面积用分割法求解较简单，此题难度一般．