Question

如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）．反比例函数y=的图象与AB交于C、D两点．P为双曲线y=上任一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．请分别按（1）、（2）、（3）各自的要求解答问题．
（1）若m+n=10，n为何值时△AOB面积最大，最大值是多少？
（2）若S_△AOC=S_△COD=S_△DOB，求n的值；
（3）在（2）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？

Answer 1

解：（1）∵，
又∵m+n=10，∴
∴．
∴n=5时，△AOB面积最大，最大值为．

（2）分别过D，C作y轴平行线与x轴交于M，N两点，则DM⊥x轴，CN⊥x轴．
由已知得△OBD，△ODC，△OCA等高等底．
∴BD=CD=CA．
又∵BO∥DM∥CN，
∴．∴D点的横坐标为．
又∵点D在函数的图象上，
∴点D纵坐标为．∴点D坐标为．
同样可求得C点坐标为．
设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），
把A，B两点坐标代入，得
解得∴直线AB解析式为．
把D点坐标代入，得．
∵m≠0，
∴．∴．

（3）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把O，D，C三点坐标分别代入，得
解得，，c=0．
∴抛物线解析式为．
由已知，得．
解得或m=0（不合题意，舍去）．
设P点坐标为（a，b），
∵点P在双曲线上，则．即ab=m．
∴．
分析：（1）已知了m+n=10，则m=10-n，根据三角形的面积公式即可得出关于S，n的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的n的值．
（2）可根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，然后联立反比例函数的解析式得出C、D两点的横坐标，根据等高的三角形的面积比等于底边比以及S_△AOC=S_△COD=S_△DOB，可得出C、D为AB的三等分点，因此C的横坐标为D的横坐标的2倍，由此可求出n的值．
（3）本题的关键是求出m的值，可根据C得到n的值表示出C、D的坐标，已知了抛物线的对称轴为x=1，因此抛物线与x轴的另一交点坐标为（2，0），然后将C、D坐标代入抛物线中，即可求得m的值．而矩形的面积实际是P点横坐标与纵坐标的积，也就是m的值．
点评：本题为二次函数综合题，考查了图形面积的求法、反比例函数、一次函数和二次函数的综合应用、函数图象交点等知识．