Question

21、如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，连接AF、EC．
（1）试判断四边形AFCE的形状，并证明你的结论；
（2）若CD=4，BC=8，求S_{四边形AFCE}的值．

Answer 1

分析：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．根据图形很容易证出△AOF≌△COF，进而证得四边形AFCE是平行四边形，又证AE=CE，因而?AFCE是菱形．
（2）先设CF=x，那么BF=8-x，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出CF=5，所以S菱形AFCE=CF×AB=20．

解答：解：（1）菱形．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE．
而∠AOE=∠COF，
又∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∴△AOF≌△COF，
∴AE=CF
又AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴?AFCE是菱形．

（2）先设CF=x，那么BF=8-x，
由（1）知AF=CF，
故CF=x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，即（8-x）²+4²=x²，解得，x=5，
所以S菱形AFCE=CF×AB=20．

点评：本题利用了菱形的判定（一组邻边相等的平行四边形是菱形），还有全等三角形的判定和性质及勾股定理、菱形面积公式的计算等问题．