Question

如图，B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、AC为直径作半圆．过B作BD⊥AC，与较大半圆相交于D，以BD为直径的圆交两个较小半圆于E、F．求证：(1)四边形BEDF是矩形；(2)直线EF是以AB、BC为直径的两个半圆的公切线．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵BD是直径，∴∠BFD＝＝∠BED，连接AF． 　　∵AB是直径，∴∠AFB＝． 　　由于∠AFB＋∠BFD＝，故A、F、D在一条直线上． 　　同理C、E、D也在一条直线上． 　　又∵AC是直径，∴∠ADC＝， 　　即∠EDF＝， 　　∴四边形BEDF是矩形． 　　(2)设AB中点为O，连接OF，依题意得∠OFB＝∠OBF＝∠BEF． 　　而∠BEF＋∠BFE＝． 　　所以∠OFB＋∠BFE＝，即OF⊥FE， 　　∴EF是以AB为直径的圆的切线， 　　∴EF是这两个半圆的公切线．