Question

5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，D为AC的中点，AF⊥BC于F，DG⊥AC交AF的延长线于G，BD交AG于H．
（1）求证：CE=AH．
（2）求证：BC=CE+HG．

Answer 1

分析 （1）先证明AB=CD=AD，∠CDE=∠ABH，根据ASA证明△CED≌△AHB即可；
（2）易证∠GDA=∠CAB=90°，∠C=∠G，根据ASA证明△CAB≌△GDA即可．

解答 证明：（1）∵AC=2AB，D为AC的中点，
∴AB=CD=AD，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH+∠CAF=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠C+∠CAF=90°，
∴∠BAH=∠C，
∵∠BDE=90°，
∴∠CDE+∠BDA=90°，
又∵∠BDA+∠ABH=90°，
∴∠CDE=∠ABH，
在△CED和△AHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠ABH}\\{AB=CD}\\{∠BAH=∠C}\end{array}\right.$，
∴△CED≌△AHB（ASA），
∴CE=AH；
（2）∵DG⊥AC，
∴∠GDA=∠CAB=90°，∠C=∠G，
在△CAB和△GDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠G}\\{AB=AD}\\{∠GDA=∠CAB}\end{array}\right.$，
∴△CAB≌△GDA（ASA），
∴BC=AG=AH+HG，
∵CE=AH，
∴BC=CE+HG．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．