Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（O，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状．

Answer 1

解：（1）∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得，
解这个方程组，得a=，b=0，c=1
∴此抛物线的解析式为 y=x²+1．

（2）①过点B作BN⊥BS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=x2十1上．可设P点坐标为（a，a²+1）．
∴PS=a²+1，OB=NS=2，BN=a．
∴PN=PS-NS=a²-1；
在Rt△PNB中．
PB²=PN²+BN²=（a²-1）²+a²=（a²+1）²
∴PB=PS=a²+1．
②根据①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5．
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90°．
∴△SBR为直角三角形．
分析：（1）已知点B坐标，可求得OB即CD或EF的长，再由矩形的面积可得CF的长，由此确定C、F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）①首先根据抛物线的解析式设出点P的坐标，然后求出PB的长（可由勾股定理或两点间的距离公式求得），再和P到x轴的距离进行比较即可．
②根据①的结论，能推出QB=QR，那么等腰△QBR的两底角相等（∠1=∠2，见解答部分的图示），再由QR∥y轴容易证得∠2、∠3的等量关系，同理，也能判断出∠5=∠PBS，这四个相邻角的总和为180°，易得∠SBR的度数，由此判定△SBR的形状．
点评：该题是函数与几何的综合题，涉及了函数解析式的确定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识．（2）的两问难度递增，只要合理运用数形结合的数学思想即可找出题目的突破点．