如图.直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分.E.F分别与BC交于点E.与AD交于点F.设AB=a.AD=b.BE=x．(Ⅰ)求证:AF=EC,(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后.再将纸片ABEF沿AB对称翻折.然后平移拼接在梯形ECDF的下方.使一底边重合.直腰落在边DC的延长线上.拼接后.下方的梯形记作EE′B′C．(1)求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时.所� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2007•日照）如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a，AD=b，BE=x．
（Ⅰ）求证：AF=EC；
（Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C．
（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x：b的值；
（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？

【答案】分析：（Ⅰ）由AB=a，AD=b，BE=x，S_梯形ABEF=S_梯形CDFE，结合梯形的面积公式可证得AF=EC；
（Ⅱ）（1）根据题意，画出图形，结合梯形的性质求得x：b的值；
（2）直线EE′经过原矩形的顶点D时，可证明四边形BE′EF是平行四边形，则BE′∥EF；当直线EE′经过原矩形的顶点A时，BE′与EF不平行．
解答：（Ⅰ）证明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S_梯形ABEF=S_梯形CDFE，
∴

a（x+AF）=

a（EC+b-AF），
∴2AF=EC+（b-x）．
又∵EC=b-x，
∴2AF=2EC．
∴AF=EC．

（Ⅱ）解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）
∵EC∥E′B′，
∴

，
由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，

得

，
∴x：b=

．
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴CE=

（AD+E′B′），
即b-x=

（b+x），
∴x：b=

．

（2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，
证明：连接BF，
∵FD∥BE，FD=BE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴FB∥DE，FB=DE，

又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴DE=EE′，
∴FB∥EE′，FB=EE′，
∴四边形BE′EF是平行四边形，
∴BE′∥EF．
如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，
设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a，
∵x：b=

，
∴EM=

BC=

b，
若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，
又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，
∴∠GBE=∠ME′E，
在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=

，
在Rt△EME′中，tan∠ME′E=

，
∴

．
又∵a＞0，b＞0，

，
∴当

时，BE′与EF垂直．
点评：本题是道根据平移的性质、梯形的性质和平行四边形的性质结合求解的综合题，解题复杂，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．

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