Question

如图，点P是?ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：
①S₁+S₃=S₂+S₄；②如果S₄＞S₂，则S₃＞S₁；③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂；④若S₁-S₂=S₃-S₄，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的有（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AD=BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，即可判断④．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，
则S₁=

1

2

ABh₁，S₂=

1

2

BCh₂，S₃=

1

2

CDh₃，S₄=

1

2

ADh₄，
∵

1

2

ABh₁+

1

2

CDh₃=

1

2

AB•BC，

1

2

BCh₂+

1

2

ADh₄=

1

2

AB•CD，
∴S₂+S₄=S₁+S₃，故①正确；
根据S₄＞S₂只能判断h₄＞h₂，不能判断h₃＞h₁，即不能得出S₃＞S₁，∴②错误；
根据S₃=2S₁，能得出h₃=2h₁，不能推出h₄=2h₂，即不能推出S₄=2S₂，∴③错误；
∵S₁-S₂=S₃-S₄，
∴S₁+S₄=2₂+S₃=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，
如图所示：

此时S₁+S₄=S₂+S₃=S_△ABD=S_△BDC=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，
即P点一定在对角线BD上，∴④正确；
故选D．

点评：本题考查了矩形的性质，三角形的面积，以及矩形对角线上点的判定的应用，用矩形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．