Question

13、如图，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），连接AE，取线段AE的中点M．
证明：FM⊥MD，且FM=MD．

Answer 1

分析：过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．求证△AMD≌△EMN，根据正方形ABCD和CGEF证明∠DCF=∠5=∠NEF，进而求证△DCF≌△NEF，求证∠CFN=90°．

解答：证明：如图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM，AD=EN．
∵ABCD和CGEF是正方形，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，
∠5=∠6=90°-∠NEG=∠NEF，DC=AD=NE．
又∵∠H=90°，
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NEF．
∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，即△DFN为等腰直角三角形．
又DM=MN，∴FM⊥MD，MF=MD．

点评：本题考查了正方形各边相等且各内角为直角的性质，考查了全等三角形的判定和对应边、对应角相等的性质，本题中求证△DCF≌△NEF是解题的关键．