Question

已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为

1. A.
   4
2. B.
   5
3. C.
   6
4. D.
   7

Answer 1

B
分析：这道题在考查垂径定理的基础上，还考查了当两数的和一定时，两数相等时乘积最大以及一元二次（根式）方程．
解答：解：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEPF为矩形
已知OA=OC=2 OP=
设OE为x，则OF=EP==
∴AC=2AE=2=2
BD=2DF=2=2
如设OF为x，同理可得
AC=2，BD=2
由此可知AC与BD两线段的和为定值
又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的
当AC=BD时
即
x=
AC=BD=
∴四边形ABCD的面积等于5
故选B．
点评：此题是一道综合性较强的题，融合了方程思想、数形结合思想．还可用a²+b²≥2ab解决，设OE=a、OF=b．分别用a、b表示AC、BD的长．