Question

如图，一个隧道的横截面成抛物线形，它的底部宽12米、高6米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的空隙不少于米．
（1）画出以抛物线的顶点为原点的直角坐标系；
（2）在第（1）小题的基础上，求该隧道横截面的抛物线的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）你能否根据题中的要求，应用已有的二次函数知识，确定通过隧道车辆的高度不能超过多少米？

Answer 1

解：（1）画出以抛物线的顶点O为原点的直角坐标系如图示：

（2）可设抛物线的函数关系式为y=ax² （a＜0），
把点B（6，-6）坐标代入上式，得-6=a×6²，
解得：a=-，
故y=-x² （-6≤x≤6）．
（3）如图示，用线段EF表示通过隧道车辆的高度h米，延长FE交抛物线于点C，交x轴于点D，
根据题意，则CE=DF-EF-CD=6-h-|y|=6-h-x²≥，
整理得：h≤-x²+（-4≤x≤4，且 x≠0 ）．
∵a=-＜0，
∴当0＜x≤4时，二次函数h随x的增大而减小；
当x=4时，函数h取得最小值，最小值为 h=-×4²+=3，
∴h≤3．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米．
分析：（1）根据题意作出坐标系即可；
（2）设抛物线的函数关系式为y=ax²，找出函数图象上的坐标，求出函数解析式即可；
（3）根据题意，求出当x=6-2时y的值，根据车辆顶部与隧道的空隙不少于米可得出不等式，从而得出通过隧道车辆的高度的最大值．
点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求二次函数解析式得知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．