若⊙P与函数图象有且只有一个公共点.并且与x轴.y轴都相切的圆.则称⊙P是这个函数的伴圆．(1)如图1.求y=(2+1)2x的伴圆的圆心P的坐标及半径r,(2)如图2.⊙P的半径为1.若⊙P是二次函数y=ax2+bx+c的伴圆.写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式,(3)如图3.求一次函数y=-34x+3的所有伴圆的圆心P的坐标及半径� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与x轴、y轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．
（1）如图1，求y=

(

+1)2

的伴圆的圆心P的坐标及半径r；
（2）如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数y=ax²+bx+c的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；
（3）如图3，求一次函数y=-

x+3的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．

分析：（1）本题需先根据题意求出y=x与y=

(

+1)2

在第一象限的交点坐标Q(

+1，

+1)即可．
（2）本题需先根据已知条件，分别写出二次函数的解析式即可．
（3）根据图形可知，x=0时，y=3；y=0时，x=4，得出OA、OB、AB的值，再分四种情况进行讨论，分别得出所求的结果．

解答：解：（1）在一、三象限内，到x轴、y轴距离相等的点在y=x上，y=x与y=

(

+1)2

在第一象限的交点坐标Q(

+1，

+1)．
∴r+

(

+1)，解得：r=

，P(

，

)，
同理伴圆在第三象限时，P(-

，-

)；

（2）y=-（x-1）²，y=（x-1）²+2的伴圆均为⊙P，
y=a（x-1）²，（a＜0）；
y=a（x-1）²+2，（a＞0）的伴圆也都是⊙P；

（3）

∵x=0时，y=3；y=0时，x=4，
∴OA=3，OB=4，AB=5．
①∵S△P1OA+S△P1OB+S△P1AB=S△OAB，
∴

r1(3+4+5)=

×3×4，
解得：r₁=1，∴P₁（1，1）；
②∵S△P2OA-S△P2OB+S△P2AB=S△OAB，
∴

r2(3-4+5)=

×3×4，
解得：r₂=3，∴P₂（3，-3）；
③∵-S△P3OA+S△P3OB+S△P3AB=S△OAB，
∴

r3(-3+4+5)=

×3×4，
解得：r₃=2，∴P₃（-2，2）；
④∵S△P4OA+S△P4OB-S△P4AB=S△OAB，
∴

r4(3+4-5)=

×3×4，
解得：r₄=6，∴P₄（6，6）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意二次函数和圆的有关知识的联系．

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若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与轴、轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．

1.如图1，求的伴圆的圆心P的坐标及半径r；

2.如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；

3.如图3，求一次函数的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．

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若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与

轴、

轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．
【小题1】如图1，求

的伴圆的圆心P的坐标及半径r；
【小题2】如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数

的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；
【小题3】如图3，求一次函数

的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．

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科目：初中数学 来源：2011-2012学年江西省中等学校招生统一考试数学卷（六） 题型：解答题

若⊙P与函数图象有且只有一个公共点，并且与轴、轴都相切的圆，则称⊙P是这个函数的伴圆．
【小题1】如图1，求的伴圆的圆心P的坐标及半径r；
【小题2】如图2，⊙P的半径为1，若⊙P是二次函数的伴圆，写出满足要求的开口方向不同的两个二次函数的解析式；
【小题3】如图3，求一次函数的所有伴圆的圆心P的坐标及半径．