Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为CB延长线上一点，且∠CAD=45゜，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F．
（1）求证：CE=EF；
（2）若DF=2，EF=4，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接CF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∵DF⊥AF，
∴∠AFD=90°，
所以∠ACD=∠AFD=90，
∴A，C，F，D四点共圆，
∴∠DCF=∠DAF，
∵∠CAD=45°，
∴∠CAB+∠DAF=45°，
即∠CAF+∠DCF=45°，
∵CE⊥AF，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠CAB=∠ECB，
∴∠ECB+∠BCF=45°，
∵∠CEF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=EF；

（2）解：过C作CM⊥DF，交DF的延长线于点M，得矩形CEFM，
∵CE=EF，
∴矩形CEFM是正方形，
∵EF=4，
∴CM=CE=FM=EF=4，
在Rt△CDM中，CD²=CM²+DM²，
∴CD=2，
∵∠CAD=45°，∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=2．
分析：（1）首先连接CF，易得A，C，F，D四点共圆，又由∠CAD=45゜，易证得△CEF是等腰直角三角形，即可得CE=EF；
（2）首先过C作CM⊥DF，交DF的延长线于点M，得矩形CEFM，继而可得矩形CEFM是正方形，然后由勾股定理求得，即可求得答案．
点评：此题考查了圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．