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    17．如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为点A，顶点为点B．抛物线的对称轴与x轴交于点C，点M在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．
    （1）当m=2时，
    ①点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（2，4）B，点M的坐标为（2，1）；
    ②过点M作MN∥AB，交x轴于点N，求△MCN的面积；
    （2）当BC=2BM时，请直接写出m的值；
    （3）若m=$\sqrt{5}$，点P、Q分别从点O和点A同时出发，以相同的速度向点C运动，点P、Q到达点C时，停止运动，连接BP、BQ、MP、MQ，当∠PMQ=3∠PBQ时，请直接写出△PBQ的面积的值．

    分析 （1）解一元二次方程-x（x-4）=0，和用配方法确定顶点坐标即可；
    （2）先用待定系数法确定出直线AB的解析式为y=-2x+8，再用平行且通过点M确定出直线MN的解析式，从而求出CN即可；
    （3）设出PC先求出PB=$\sqrt{{a}^{2}+25}$PM=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，BR=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+25}$，再用△BRN∽△BCP，表示出BN，进而得出MN，最后用角平分线定理建立方程即可．

    解答 解：（1）①∵m=2，
    ∴y=-x2+4x=-x（x-4）=0，
    ∴x1=0，x2=4，
    ∴A（4，0），
    ∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
    ∴B（2，4），
    ∵点M在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，
    ∴M（2，1），
    故答案为A（4，0），B（2，4），M（2，1），
    ②如图1，

    设直线AB的解析式为y=kx+b，
    根据题意有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
    ∴直线AB的解析式为y=-2x+8，
    ∵MN∥AB，且过点M（2，1）
    ∴直线MN的解析式为y=-2x+5，
    ∵N在x轴上，
    ∴N（$\frac{5}{2}$，0），
    ∵C（2，0）
    ∴CN=$\frac{1}{2}$，
    ∵CM=1，
    ∴S△MCN=$\frac{1}{2}$×CN×CM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{4}$；
    （2）∵抛物线y=-x2+2mx=-x（x-2m），
    ∵A（2m，0），
    ∵抛物线y=-x2+2mx=-（x-m）2+m2，
    ∴B（m，m2），C（m，0），
    ∵点M在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，
    ∴M（m，1），
    ∴BC=m2，BM=|m2-1|，
    ∵BC=2BM，
    ∴m2=2|m2-1|，
    ∴m1=$\sqrt{2}$，m2=-$\sqrt{2}$（舍），m3=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，m4=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$（舍）；
    ∴m1=$\sqrt{2}$，m2=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
    （3）如图2，

    ∵m=$\sqrt{5}$，
    ∴抛物线y=-x2+2mx=-（x-m）2+m2=-（x-$\sqrt{5}$）2+5，
    ∴B（$\sqrt{5}$，5），C（$\sqrt{5}$，0）
    ∴BC=5，MC=1，BM=4，
    作∠BPM的平分线交BC于N，过点N作NR⊥AB，
    ∵∠PMQ=3∠PBQ，
    ∴∠BPN=∠MPN=∠PBC，
    设PC=a，
    ∴PB=$\sqrt{{a}^{2}+25}$PM=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
    ∴BR=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+25}$
    ∵∠RBN=∠CBP，∠BRN=∠BCP，
    ∴△BRN∽△BCP，
    ∴$\frac{BN}{PB}=\frac{BR}{BC}$，
    ∴$\frac{BN}{\sqrt{{a}^{2}+25}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+25}}{5}$
    ∴BN=$\frac{{a}^{2}+25}{10}$，
    ∴MN=BM-BN=$\frac{15-{a}^{2}}{10}$，
    ∵PN是∠BPM的角平分线，
    ∴$\frac{BN}{MN}=\frac{PB}{PM}$，
    ∴$\frac{\frac{{a}^{2}+25}{10}}{\frac{15-{a}^{2}}{10}}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+25}}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
    ∴a=-$\frac{5\sqrt{7}}{7}$（舍）或a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$
    ∴PQ=$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，
    ∴S△PBQ=$\frac{1}{2}$×PQ×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{7}}{7}$×5=$\frac{25\sqrt{7}}{7}$
    即：△PBQ的面积为=$\frac{25\sqrt{7}}{7}$．

    点评 此题二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求直线解析式，确定交点坐标，三角形的面积，角平分线定理，解本题的关键是要熟练确定抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标．作出辅助线是解本题的难点．

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    （1）求点A，B的坐标．
    （2）当m＜3时，判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由．
    （3）连结BE，当$\frac{AE}{BF}=\frac{1}{2}$时，求△BEF的面积．

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