精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
精英家教网如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动,E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动,设运动时间为t秒(0<t<5).
(1)求证:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的长;
(3)设四边形AFEC的面积为y,求y关于t的函数关系式,并求出y的最小值.
分析:(1)由CD∥AB,得∠DCA=∠CAB,加上一组直角,即可证得所求的三角形相似.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理可求得AC的长,根据(1)题所得相似三角形的比例线段,即可求出DC的长.
(3)分析图象可知:四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得,分别求出两者的面积,即可得到y、t的函数关系式,进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值.
解答:解:(1)∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCA
又∵AC⊥BC,∠ACB=90°,∴∠D=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△BAC.

(2)Rt△ABC中,AC=
AB2-BC2
=8cm,
∵△ACD∽△BAC,∴
DC
AC
=
AC
AB

DC
8
=
8
10
,解得:DC=6.4cm.

(3)过点E作AB的垂线,垂足为G,
精英家教网∵∠ACB=∠EGB=90°,∠B公共,
∴△ACB∽△EGB,
EG
AC
=
BE
AB
,即
EG
8
=
t
10
,故EG=
4
5
t

y=S△ABC-S△BEF
=
1
2
×6×8-
1
2
(10-2t)•
4
5
t=
4
5
t2-4t+24

=
4
5
(t-
5
2
)2+19

故当t=
5
2
时,y的最小值为19.
点评:此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识,能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答(3)题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

20、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E为BC边上的点.将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠,使△ABD与△EBD重合(如图中阴影所示).若∠A=130°,AB=4cm,则梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(结果精确到0.1cm)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(1998•大连)如图,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE为直径的⊙O交AB于点F,交CD于点G、H.过点F引⊙O的切线交BC于点N.
(1)求证:BN=EN;
(2)求证:4DH•HC=AB•BF;
(3)设∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα为根的一元二次方程.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,点E、F分别是腰AD、BC上的动点,点G在AB上,且四边形AEFG是矩形.设FG=x,矩形AEFG的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在腰BC上求一点F,使梯形ABCD的面积是矩形AEFG的面积的2倍,并求出此时BF的长;
(3)当∠ABC=60°时,矩形AEFG能否为正方形?若能,求出其边长;若不能,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以2cm/s的速度向点B移动,点Q以1cm/s的速度向点D移动,当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动.
(1)经过几秒钟,点P、Q之间的距离为5cm?
(2)连接PD,是否存在某一时刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此时的移动时间;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案