Question

7．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，EF⊥AE．
求证：（1）CE²=AB•CF；
（2）CF=$\frac{1}{3}$DF．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，由EF⊥AE，得到∠BAE=∠FEC，推出△ABE∽△ECF，得到$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF}$，即可得到结论；
（2）由（1）证得$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF}$，代入已知条件即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵EF⊥AE，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF}$，
∴CE•BE=AB•CF，
∵E是BC的中点，
∴CE²=AB•CF；

（2）由（1）证得$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CF}$，
∵BE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$BE，
∴CF=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=$\frac{1}{3}$DF．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．