在△ABC中.AB=AC.CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图所示的位置摆放.该三角尺的直角顶点为F.一条直角边与AC边在一条直线上.另一条直角边恰好经过点B．(1)在图1中请你通过观察猜想BF与CG满足的数量关系.并证明你的结论．(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时.一条直角边仍与AC边在同一直线上.另一条直角边交BC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察猜想BF与CG满足的数量关系，并证明你的结论．
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、猜想DE、DF与CG满足的数量关系，并证明你的猜想．

分析（1）由于有∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，故由AAS证得△ABF≌△ACG⇒BF=CG；
（2）过点D作DH⊥CG于点H（如图）．易证得四边形EDHG为矩形，有DE=HG，DH∥BG⇒∠GBC=∠HDC．又有AB=AC⇒∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∠F=∠DHC=90°⇒CD=DC，可由AAS证得△FDC≌△HCD⇒DF=CH，有GH+CH=DE+DF=CG．

解答解：（1）BF=CG，
证明：在△ABF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠G=90°}\\{∠FAB=∠GAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ACG（AAS）
∴BF=CG．
（2）猜想结论是：DE+DF=CG
证明：过点D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，DH⊥CG，∠G=90°，
∴∠G=∠DHC=90°，∠G=∠DEB=90°，
∴GE∥HD，GH∥ED
∴四边形GEDH为平行四边形，
∴DE=HG，
∵GE∥HD，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠GBC=∠FCB，
∴∠HDC=∠FCD，
∵∠F=∠G=90，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴CG=CH+GH=DE+DF．

点评本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求解；作出辅助线是正确解答本题的关键．

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