Question

我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：
（1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；
（2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出

MM′

N′N

的值（用含α的三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）证线段相等，可证线段所在的三角形全等．结合本题，证△MM′E≌△NN′F即可；
（2）由于M′E∥CD，则∠EM′M=∠FNN′=α，易证得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，则比例式可化为：

MM′

NN′

=

FN′

FN

=tanα，由此可知：当α=45°时，MM′=NN′；当α≠45°时，MM′≠NN′．

解答：（1）解：在方形环中，
∵M'E⊥AD，N'F⊥BC，AD∥BC，
∴M'E=N'F，∠M'EM=∠N'FN=90°，∠EMM'=∠N'NF，
∴△MM'E≌△NN'F．
∴MM'=N'N；（5分）

（2）解法一：∵∠NFN'=∠MEM'=90°，∠FNN'=∠EM'M=α，
∴△NFN'∽△M'EM．                                          （8分）
∴

MM′

N′N

=

M′E

NF

．
∵M'E=N'F，
∴

MM′

N′N

=

N′F

NF

=tanα（或

sinα

cosα

）．                           （10分）
①当α=45°时，tanα=1，则MM′=NN′；
②当α≠45°时，MM′≠NN′，
则

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．                                 （12分）
解法二：在方形环中，∠D=90°，
又∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，
∴M′E∥DC，N′F=M′E．
∴∠MM′E=∠N′NF=α．
在Rt△NN′F与Rt△MM′E中，
sinα=

N′F

NN′

，cosα=

M′E

MM′

tanα=

sinα

cosα

=

N′F

NN′

•

MM′

M′E

=

MM′

NN′

，
即

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．                                   （10分）
①当α=45°时，MM′=NN′；
②当α≠45°时，MM′≠NN′，则

MM′

NN′

=tanα（或

sinα

cosα

）．          （12分）

点评：此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用等知识．