Question

设a、b是两个相邻的整数，且c=ab，M²=a²+b²+c²，求证：M²是奇数．

Answer 1

分析：根据a、b是两个相邻的整数，不妨设a=b+1，由c=ab，则M²=a²+b²+c²=（b+1）²+b²+（b+1）²b²，然后讨论b的奇偶性即可证明．

解答：证明：∵a、b是两个相邻的整数，不妨设a=b+1，则M²=a²+b²+c²=（b+1）²+b²+（b+1）²b²
=b²+2b+1+b²+（b²+2b+1）b²
=b⁴+2b³+3b²+1，
若b为偶数，则b⁴，2b³，3b²为偶数，∴b⁴+2b³+3b²+1为奇数，
若b为奇数，则b⁴，3b²为奇数，2b³为偶数，∴b⁴+2b³+3b²+1为奇数，
综上所述：M²为奇数，即证明之．

点评：本题考查了整数的奇偶性，难度适中，关键是用b把M²表示出来，然后讨论b的奇偶性．