Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
（1）求证：①AE=DF；②AM⊥DF；
（2）若M为DF中点，连接EF，直接写出

EF

DC

=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出AE=DF，②由△AOE≌△DOF得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，得出了结论．
（2）连结EF，利用△EMD≌△EMF，求出线段之间的关系求解．

解答：（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴CO=DO，
又∵DE=CF，
∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，
在△AOE和△DOF中，

AO=DO ∠AOD=DOF OE=OF

，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴AE=DF，
②由①中△AOE≌△DOF，
∴∠OAE=∠ODF，
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°，
即可得AM⊥DF；
（2）如图连接EF
由AM⊥DF，M为DF中点，
∴

MD=MF ∠EMD=∠EMF EM=EM

∴△EMD≌△EMF（SAS），
∴EF=ED，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DOB=90°，∠OCD=45°，
∴DC=

2

OD=

2

（OE+ED），
∵OE=

2

2

EF，
∴DC=

2

（

2

2

EF+EF），
∴DC=EF（1+

2

），
∴

EF

DC

=

2

-1，
故答案为：

2

-1．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明和利用等角代换解题．