Question

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO=FO，连接AF并延长AF与CB的延长线交于D．
求证：AE²=FG•FD．

Answer 1

分析：如图，连结BF、BG．由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论．

解答： 证明：连结BF、BG．
∵在△AEO和△BFO中，

∠AEO=∠BFO ∠AOE=∠BOF AO=BO

，
∴△AEO≌△BFO（AAS），
∴AE=BF．
又∵∠ACB=90°，EF∥BC，
∴∠OFB=∠AEO=∠ACB=90°，
∴∠FBD=90°，
又∵BG⊥FD，
∴△FGB∽△FBD，
∴

BF

DF

=

FG

FB

，即

AE

FD

=

FG

AE

，
∴AE²=FG•FD．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及圆周角定理．此题利用“两角法”证得两个三角形相似．