Question

AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC²+ED²=2．

Answer 1

证明：作CD关于AB的对称直线FG，
∵∠AEC=45°，
∴∠AEF=45°，
∴CD⊥FG，
∴CG²=CE²+EG²，
即CG²=CE²+ED²，
∵△OCD≌△OGF（SSS），
∴∠OCD=∠OGF．
∴O，C，G，E四点共圆．
∴∠COG=∠CEG=90°．
∴CG²=OC²+OG²=2．
∴EC²+ED²=2．
分析：首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG²=CE²+ED²，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG²=OC²+OG²=2．继而证得EC²+ED²=2．
点评：此题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用以及四点共圆的知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．