Question

8．已知：△ABC内接于⊙O，直径AM平分∠BAC．
（1）如图1，求证AB=AC；
（2）如图2，弦FG分别交AB、AC于点D、E，AE=BD，当∠ADE+∠DEC=90°时，连接CD，直径AM分别交DE、CD、BC于N、H、R，若CD⊥AB，求证：∠NDC=∠ACB；
（3）在（2）的条件下，若DE长为$\sqrt{2}$，求△ACH的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1中，分别过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥AC于Q，只要证明△OAP≌△OAQ即可解决问题．
（2）如图2中，作DS⊥AC于S，想办法证明∠NDC=∠ACB=67.5°即可解决问题．
（3）过点E作EK∥AB交AM于K．首先证明四边形EKBD是平行四边形，由△ADE≌△ECK，推出DE=KC，由DE=BK，推出KB=KC，由∠BKM=∠DNM=45°，推出∠BKC=90°推出BC=$\sqrt{2}$BK=$\sqrt{2}$DE=2，由△ADH≌△CDB，推出AH=BC=2，BR=CR=1，根据S_△ACH=$\frac{1}{2}$•AH•CR计算即可．

解答 （1）证明：如图1中，分别过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥AC于Q，

∴AP=PB=$\frac{1}{2}$AB，AQ=CQ=$\frac{1}{2}$AC，
∵AM平分∠BAC
∴OP=OQ，
∵OA=OA，
∴△OAP≌△OAQ，
∴AP=AQ，
∴AB=AC．

（2）如图2中，作DS⊥AC于S．

∵∠CED=90°-∠ADE=90°-∠EDS，
∴∠ADE=∠EDS，
∵∠ADE+∠DEC=90°，
又∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∴∠ADS=∠EDS，
∵∠DAS+∠ADS=90°，
∴∠DAN+∠ADN=45°，
∴∠DNM=45°，
∵AD=CE，
∴AD=DC，
∴∠DAC=45°，
∴∠DAM=22.5°，∠ADN=22.5°，
∴∠NDC=67.5°
∵∠CAM=22.5°，
∴∠ACB=67.5°，
∴∠NDC=∠ACB．

（3）过点E作EK∥AB交AM于K．

∵∠BAM=∠CAM，
∴∠EKA=∠BAM=∠CAM，
∴EK=AE，
∴EK=BD
∴四边形EKBD是平行四边形，
∵AD=CE，∠DAE=∠KEC，AE=EK，
∴△ADE≌△ECK，
∴DE=KC，∵DE=BK，
∴KB=KC，
∵∠BKM=∠DNM=45°，
∴∠BKC=90°
∴BC=$\sqrt{2}$BK=$\sqrt{2}$DE=2，
∵△ADH≌△CDB，
∴AH=BC=2，BR=CR=1
∴S_△ACH=$\frac{1}{2}$•AH•CR=$\frac{1}{2}$×2×1=1．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题时根据是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．