Question

4．抛物线y=ax²+bx+1的顶点在第一象限，且过点（-1，0），设t=a+b+1，则t的取值范围是0＜t＜2．

Answer 1

分析 由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=t=a+b+1．把点（-1，0）代入y=ax²+bx+1，a-b+1=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出t=a+b+1的变化范围．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（-1，0），
∴易得：a-b+1=0，a＜0，b＞0，
由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，
∴由①+②得：-1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵a+b+1=t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故答案为：0＜t＜2．

点评 此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax²+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．