Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

Answer 1

(1)详见解析；（2）6.

解析试题分析：（1）利用平行四边形的对边互相平行，可证得∠ADE=∠DEC, ∠C+∠B=180°,再利用等角的补角相等，可证得∠C=∠AFD,根据相似三角形的判定：有两个角分别相等的两个三角形相似.即可证明△ADF∽△DEC.(2)由（1）可知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质，可列比例式,可求出DE的值，在直角三角形ADE中，根据勾股定理可求出AE的值.
试题解析：（8分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．
考点：1、相似三角形的判定；2、相似三角形的性质.