Question

如图，点A₁、A₂、A₃、A₄、…、A_n在射线OA上，点B₁、B₂、B₃、…、B_n-1在射线OB上，A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，设△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃，…，△A_nB_n-1B_n的面积分别为S₁，S₂，…，S_n-1，若△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面积分别为1、9，则在S₁，S₂，…，S_n-1中小于2014的共有

 

个．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：规律型

分析：根据面积比等于相似比的平方，从而可推出相邻两个三角形的相似比为1：3，面积比为1：9，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个三角形的面积，再由相似比为1：3可求出面积小于2014的三角形的个数．

解答：解：∵△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面积分别为1，9，A₁B₁∥A₂B₂，A₂B₁∥A₃B₂，
∴∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂A₃，∠B₁A₂A₁=∠B₂A₃A₂，
∴△A₁B₁A₂∽△A₂B₂A₃，
∴

A1B1

A2B2

=

A1A2

A2A3

=

A2B1

A3B2

=

1 9

=

1

3

，
∵A₁B₁∥A₂∥B₂，
∴△OA₁B₁∽△OA₂B₂，
∴

OB1

OB2

=

A1B1

A2B2

=

1

3

，
∵A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃的面积分别为1，9，
∴△A₂B₁B₂的面积S₁=3×1=3，△A₂A₃B₂的面积S=3×3=9，△A₃B₂B₃的面积S₂=3×3×3=27，△A₃B₃A₄的面积=3×3×3×3=81，
继而可推出：S₃=81×3=243，S₄=243×3×3=2197，
即在S₁，S₂，…，S_n-1中小于2014的共3个，
故答案为：3．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．