Question

如图1，二次函数y=ax²-2ax-3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a）．

（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；
由y=ax²-2ax-3a=a（x-3）（x+1）知，A（3，0）、B（-1，0）、C（0，-3a），则：
AC²=（0-3）²+（-3a-0）²=9a²+9、CD²=（0-1）²+（-3a+4a）²=a²+1、AD²=（3-1）²+（0+4a）²=16a²+4
由勾股定理得：AC²+CD²=AD²，即：9a²+9+a²+1=16a²+4，
化简，得：a²=1，由a＜0，得：a=-1
即，抛物线的解析式：y=-x²+2x+3．
②∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，
∴PM∥x轴，且PM=OB=1；
设M（x，-x²+2x+3），则OF=x，MF=-x²+2x+3，BF=OF+OB=x+1；
∵MF：BF=1：2，即BF=2MF，
∴2（-x²+2x+3）=x+1，化简，得：2x²-3x-5=0
解得：x₁=-1、x₂=
∴M（，）、N（，）．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如右图；
设Q（1，b），则QD=4-b，QB²=QG²=（1+1）²+（b-0）²=b²+4；
∵C（0，3）、D（1，4），
∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD²=2QG²；
代入数据，得：
（4-b）²=2（b²+4），化简，得：b²+8b-8=0，
解得：b=-4±2；
即点Q的坐标为（1，-4+2）或（1，-4-2）．
分析：（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标．
（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形，且∠ACD=90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值，由此得出抛物线的解析式．
②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM=OB=1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF=2MF作为等量关系进行解答即可．
③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ=45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD²=2QG²=2QB²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半径间的数量关系是解题题目的关键．