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    课题学习
    问题背景　甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形
    任务要求：
    （1）请你在图1中画出旋转后的图形
    甲、乙、丙三名同学又继续探索：
    在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点F为BC上一点，点E为DC上一点，∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N．连接EF
    甲发现：线段BF，EF，DE之间存在着关系式EF=BF+DE；
    乙发现：△CEF的周长是一个恒定不变的值；
    丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2
    （2）现请也参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中哪个的发现是正确的，并说明你的理由．

    解：画图如图（1）

    （2）选择甲发现：
    证明：延长CB到K，使BK=DE，连AK，则△AKB≌△AED，
    ∵∠BAF+∠DAE=45°，
    ∴∠KAF=45°，
    ∴∠KAF=∠FAE．
    ∵AK=AE，AF=AF，
    ∴△AKF≌△AEF．
    ∴KF=EF．
    又∵BK=DE，
    ∴EF=BF+DE
    选择乙发现：
    证明：延长CB到K，使BK=DE，连AK，则△AKB≌△AED
    ∵∠BAF+∠DAE=45°，
    ∴∠KAF=45°，
    ∴∠KAF=∠FAE．
    ∵AK=AE，AF=AF，
    ∴△AKF≌△AEF．
    ∴KF=EF．
    又∵BK=DE，
    ∴EF=BF+DE
    △CEF周长=CF+CE+EF
    =CF+CE+（BF+DE）
    =（CF+BF）+（CE+DE）
    =BC+DC=2a（定值）
    选择丙发现：

    证明：如图，在AK上截取AG=AM，连接BG，GN．
    ∵AG=AM，AB=AD，∠KAB=∠EAD，
    ∴△ABG≌△ADM，
    ∴BG=DM，∠ABG=∠ADB=45°．
    又∵∠ABD=45°，
    ∴∠GBD=90°．
    ∵∠BAF+∠DAE=45°，
    ∴∠KAF=45°，
    ∴∠KAF=∠FAE．
    又∵AG=AM，AN=AN，
    ∴△GAN≌△NAM．
    ∴NG=MN，
    ∵∠GBD=90°，
    ∴BG2+BN2=NG2，
    ∴BN2+DM2=MN2．
    综上所述：甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的．
    分析：（1）根据图形旋转前后所构成的两图形全等画出图形即可；
    （2）①选择甲，延长CB到K，使BK=DE，连AK，由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED，可得出
    ∠KAF=∠FAE，进而可得出△AKF≌△AEF，由全等三角形的性质及BK=DE可得出EF=BF+DE；
    ②选择乙，延长CB到K，使BK=DE，连AK，由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED，由全等三角形的性质可得到△AKF≌△AEF，再根据BK=DE即可得出△CEF周长为定值；
    ③选择丙，在AK上截取AG=AM，连接BG，GN，由图形旋转的性质可得△ABG≌△ADM，△GAN≌△NAM，再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2．
    点评：本题考查的是图形的旋转，通过旋转利用全等三角形，发现边的关系，再利用直角三角形的勾股定理找到三条线段的平方关系，利用构造法证明△AKF≌△AEF，△GAN≌△NAM是解答此题的关键．
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