Question

在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．
求：（1）一次、二次函数的解析式．
（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？
（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．
（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法求函数的解析式；
（2）观察图象可知，在二次函数对称轴的右侧，两函数的函数值都随x的增大而增大；
（3）由图象可知，线段BC位于抛物线的上方，求出其对应的自变量x的取值范围；
（4）从图象上观察两函数的函数值的符号，找出其异号时，x的取值范围即可．

解答：解：（1）设一次函数的解析式为y=ax+b，
将B（3，0），C（0，-3）代入解析式，可得：

3a+b=0 b=-3

，解得a=1，b=-3；
设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，由题意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，解得a=1，b=-2，c=-3．
故一次函数的解析式为y=x-3，二次函数的解析式为y=x²-2x-3．

（2）∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、点B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为x=1，抛物线开口向上，
当x≥1时，两函数的函数值都随x增大而增大；

（3）由图象可得：当0＜x＜3时，一次函数值大于二次函数值；

（4）由图示知，当x＜3时，一次函数值小于0，
当x＞3时，一次函数值大于0；
当x＜-1或x＞3时，二次函数值大于0，
当-1＜x＜3时二次函数值小于0．
综上可得，当x＜-1时，两函数的函数值的积小于0．

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了一次函数和二次函数的图象及性质等知识，要仔细观察图象，充分利用函数的图象解出相关量．