Question

某公园有一块三角形的空地△ABC（如图），为了美化公园，公园管理处计划栽种四种名贵花草，要求将空地△ABC划分成形状完全相同，面积相等的四块．”为了解决这一问题，管理员张师傅准备了一张三角形的纸片，描出各边的中点，然后将三角形ABC的各顶点叠到其对边的中点上，结果发现折叠后所得到的三角形彼此完全重合．你能说明这种设计的正确性吗？

Answer 1

解：这种设计是正确的．
证明如下：
∵D、E、F是三边中点，
∴EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC，且EF=BD=CD=BC，
∵EF∥BC
∴∠AEF=∠C，∠DEF=∠EDC，∠BDF=∠EFD，
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠B，
∵DF∥AC，
∴∠C=∠BDF
∴∠AEF=∠C=∠BDF=∠DFE，∠AFE=∠B=∠EDC=∠DEF
∴△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF．
即得到三角形彼此重合．
分析：要证这四个三角形完全重合，即证它们全等，由D、E、F是三边中点，EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC，且EF=BD=CD=BC
由EF∥BC得∠B=∠AFE，∠AEF=∠C，∠DEF=∠EDC，∠BDF=∠EFD．由DE∥AB得∠EDC=∠B，由DF∥AC，得∠C=∠BDF则由（ASA）得△AFE≌△FBD≌△EDC≌△DEF
点评：本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定，同学们应熟练掌握．