Question

在平面直角坐标系中，ΔABC满足：∠C=90^。，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C随着在y轴上运动．
（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件

Answer 1

（1）当A点在原点时，如图1、AC在y轴上，BC⊥y轴，     所以 OB=； （2）当OA=OC时，如图2，△OAC是等腰直角三角形， AC=2，    所以 ， OA=OC=。    过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，则            又 BC=1，所以 CD=BD=，   BE=BD+DE-BD+OC=，   故 OB=； （3）如图3，取AC的中点E，连结OE、BE，   在Rt△AOC中， OE是斜边AC上的中线，   所以 OE=AC=1，   在△ACB中，BC=1，CE=AC=1，    所以 BE=。   若点O、E、B在一条直线上，则 OB=OE+EB=1+，  所以当O、E、B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为 1+。