Question

如图，BC为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，C为切点，连接AB交⊙O于点P．
（1）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求AP的长；
（2）点Q是AC的中点，判断PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，即∠BCA=90°；
在Rt△BCA中，∠B=60°，BC=4cm，
故AB=8cm，AC=4cm；
由切割线定理知：AC²=AP•AB，即AP=AC²÷AB=48÷8=6cm．

（2）连接CP、OP，则∠CPB=∠CPA=90°；
在Rt△CPA中，Q是AC的中点，则QP=QC，
故∠QCP=∠QPC；
又∵∠OCP=∠OPC，
∴∠OCP+∠QCP=∠OPC+∠QPC，即∠OPQ=∠OCQ=90°，
因此PQ与⊙O相切．
分析：（1）在Rt△ABC中，根据BC的长和∠B的度数，即可求出AC、AB的长，进而可由切割线定理求出AP的长．
（2）连接CP，由于BC是⊙O的直径，根据圆周角定理可知∠CPB、∠CPA都是直角，在Rt△CPA中，由于Q是斜边AC的中点，因此QC=QP，即∠QCP=∠QPC；而∠OCP=∠OPC，所以∠OCQ与∠OPQ相等，由此可证得OP⊥PQ，即PQ与⊙O相切．
点评：此题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、切割线定理以及切线的判定等知识，难度适中．