Question

正方形ABCD的对角线交于点O，过顶点D作AC的平行线，在这条线上取一点E，连接AE，CE，使AE=AC，AE交CD于F．则下列结论：
①CE=CF；②∠ACE=75°；③△DFE是等腰三角形；④若AB=1，则CE=；⑤
正确的个数是

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   5

Answer 1

C
分析：过点E作EG⊥AC于G，先求出四边形ODEG是矩形，根据矩形的对边相等可得GE=OD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠CAE=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CFE=75°，根据等腰三角形两底角相等求出∠ACE=∠AEC=75°，从而判断①、②正确；根据两直线平行，内错角相等求出∠EDF=∠ACF=45°，∠DEF=∠CAE=30°，求出△DFE不可能是等腰三角形，判断③错误；根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC的长度，再求出AG、GE然后求出CG，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出CE的长，判断④正确；根据FC=EC求出DF，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解，从而判断⑤正确．
解答：如图，过点E作EG⊥AC于G，
∵正方形的对角线AC⊥BD，DE∥AC，
∴DE⊥BD，
∴四边形ODEG是矩形，
∴GE=OD，
∵AE=AC，AC=2•OD，
∴∠CAE=30°，
在△ACF中，∠CFE=∠CAE+∠ACD=30°+45°=75°，
在等腰△ACE中，∠ACE=∠AEC=（180°-30°）=75°，故②正确，
∴∠AEC=∠CFE，
∴CE=CF，故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠EDF=∠ACF=45°，∠DEF=∠CAE=30°，
∴△DFE不可能是等腰三角形，故③错误；
∵AB=1，
∴AE=AC=AB=，
在Rt△AEG中，GE=AE=×=，
AG===，
∴CG=AC-AG=-，
在Rt△CEG中，CE=====-1，故④正确；
∵FC=EC=-1，
∴DF=CD-FC=1-（-1）=2-，
∵DE∥AC，
∴△DFE∽△CFA，
∴=（）²=（）²=，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①②④⑤共4个．
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出辅助线构造出含30°直角三角形是解题的关键，也是解题的难点．