Question

（1）求证：81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；
（2）证明：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差；
（3）计算：．

Answer 1

解：（1）∵81⁷-27⁹-9¹³=3²⁸-3²⁷-3²⁶=3²⁶（9-3-1）=45×3²⁴，
∴81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；

（2）反证法：假设2（2n+1）能表示为两个整数的平方差即2（2n+1）=a²-b²=（a+b）（a-b），
因为2（2n+1）是偶数，则a+b、a-b定有一个是偶数，
若a+b是偶数，则a、b具有相同的奇偶性，则a-b也是偶数；
同样的，若a-b偶，则a+b也偶，
则（a+b）（a-b）能被4整除也就是说2（2n+1）能被4整除，
即 2n+1能被2整除，但这是显然不成立的，
故原假设不成立，
∴当n为自然数时，2（2n+1）的形式的数不能表示为两个整数的平方差；

（3）∵===
∴原式==2×（）
=221．
分析：（1）首先将81⁷-27⁹-9¹³代数式转化成底数为3的幂，提取公因式3²⁶，此时出现差5，再将3²⁶分解成3²⁴与9的乘积，问题得解；
（2）直接证明较难，因而采用反证法．假设2（2n+1）能表示为两个整数的平方差2（2n+1）=a²-b²．再分别就a+b、a-b是偶数
讨论，与其已知相反；
（3）观察式子，发现规律：均包含有的形式，因而对其进行因式分解得．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．
点评：本题考查因式分解的应用．解决（1）的关键是将原式通过因式分解转化为9×5×3ⁿ的形式；（2）的关键是采用反证法；（3）的关键得到=这一规律，运用规律代入原式约分化简求值．