Question

（2010•钦州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B=30°，AB=2，求CD的长；
（2）求证：AE²=EB•EC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB是直径，所以有∠ACB=90°，在Rt△ABC中，利用∠B的余弦值可求出BC，再在Rt△BMC中，利用∠B的正弦值，可求CM，利用垂径定理可知CD=2CM，即可求CD；
（2）由于AE是切线，利用弦切角定理可知∠EAC=∠EBA，再加上一对公共角，容易证出△EAC∽△EBA，那么可得比例线段，即可证．
解答：（1）解法一：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．                       （1分）
在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2，
∴BC=AB•cos30°=2×．        （2分）
∵CD⊥AB，∠B=30°，
∴CM=，BC=，（4分）
CD=2CM=；（5分）（其它解法请酌情给分）
解法二：
∵AB为⊙O的直径，∠B=30°，
∴AC=AB=1，BC=AB•cos30°=．      （2分）
∵CD⊥AB于点M，
∴CD=2CM，AB×CM=AC×BC，（4分）
∴CD=2CM=2×=2×=；（5分）

（2）证明：
∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，∠ACE=∠ACB=90°，（6分）
∴∠ACE=∠BAE=90°．                 （7分）
又∵∠E=∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB，（8分）
∴，（9分）
∴AE²=EB•EC．                       （10分）
点评：本题利用了直角三角形中三角函数值、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识．