Question

16、如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G，下列结论（1）∠ABE=∠ACD；（2）EG=MG；（3）GM=MF；（4）BG-FG=AF中，正确的序号是

（1）（2）（4）

．

Answer 1

分析：由△ABC为等腰直角三角形，得AC=AB，∠BAC=90°，而AD=AE，得Rt△ABE≌Rt△ACD，∠ABE=∠ACD；所以（1）正确．
则∠BEA=∠ADC，而GF⊥DC，通过互余得到∠AEB=∠FMC，则∠GEM=∠GME，得到GE=GM，所以（2）正确．
过G作GN⊥BC交AF的延长于点N，连BN，由∠6=90°-∠DCB，∠7=∠AFB=90°-∠2，而∠1=∠4，∠2=∠DCB，得到∠6=∠7，则FC垂直平分GN，得到FN=FG，且BN=BG，∠2=∠3，再由∠1+∠2+∠3=45°+∠2=45°+45°-∠1=90°-∠1，∠BAN=90°-∠5，得到∠ABN=∠BAN，则NA=NB，BG=AN=AF+FN=AF+FG，所以（4）正确．

解答：解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°，
而AD=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；所以（1）正确．
∴∠BEA=∠ADC，
又∵GF⊥DC，
∴∠FMC+∠DCM=90°，
而∠ADC+∠DCM=90°，
∴∠AEB=∠FMC，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，所以（2）正确．
过G作GN⊥BC交AF的延长于点N，连BN，如图，
∵∠6=90°-∠DCB，∠7=∠AFB=90°-∠2，
而∠1=∠4，
∴∠2=∠DCB，
∴∠6=∠7，
∴FC垂直平分GN，
∴FN=FG，且BN=BG，∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=45°+∠2=45°+45°-∠1=90°-∠1，
∠BAN=90°-∠5，
而∠1=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠BAN，
即∠ABN=∠BAN，
∴NA=NB，
∴BG=AN=AF+FN=AF+FG，所以（4）正确．
故答案为：（1），（2），（4）．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质：两腰相等，两底角都为45度．也考查了三角形全等的判定与性质，线段的垂直平分线的性质．