Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）如图1，若△BPQ∽△BCA，求t的值；
（2）如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求$\frac{AQ}{CP}$的值；
（3）证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，②当△BPQ∽△BCA时，$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，根据△ACQ∽△CMP，得出$\frac{AQ}{CP}$=$\frac{CQ}{MP}$，即可；
（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=$\frac{PE+QC}{2}$，再把QC=4t，PE=8-BM=8-4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
由运动知，BP=5t，QC=4t，
①当△BPQ∽△BAC时，
∵$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，
∴t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，
∵$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
∴t=$\frac{32}{41}$，
∴t=1或$\frac{32}{41}$时，△BPQ与△ABC相似；

（2）如图1所示，在Rt△ABC中，sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB=5t，PM=PBsinB=3t，
由运动知，CQ=4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴$\frac{AQ}{CP}=\frac{CQ}{PM}$=$\frac{4t}{3t}$=$\frac{4}{3}$；

（3）如图，作PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，

∵∠ACB=90°，
∴DF为梯形PECQ的中位线，
∴DF=$\frac{PE+QC}{2}$，
∵QC=4t，PE=BC-BM=8-BM=8-4t，
∴DF=$\frac{8-4t+4t}{2}$=4，
∵BC=8，
过BC的中点R作直线平行于AC，
∴RC=DF=4成立，
∴D在过R的中位线上，
∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

点评 此题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．