Question

（2012•虹口区二模）如图，已知ED∥BC，GB²=GE•GF
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接GD，若GB=GD，求证：四边形ABCD为菱形．

Answer 1

分析：（1）根据平行线分线段成比例定理可以得到：

GB

GE

=

GC

GA

，然后根据GB²=GE•GF变形得到：

GB

GE

=

GF

GB

，则

GF

GB

=

GC

GA

，然后利用平行线分线段成比例定理的逆定理即可证得AB∥CD，根据平行四边形的定义即可证得；
（2）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，得到O是BD的中点，再根据GB=GD，利用等腰三角形的性质即可得到BD⊥AC，利用菱形的判定定理即可证得．

解答：证明：（1）∵ED∥BC，
∴

GB

GE

=

GC

GA

．
∵GB²=GE•GF，
∴

GB

GE

=

GF

GB

，
∴

GF

GB

=

GC

GA

，
∴AB∥CF，即AB∥CD．
又∵ED∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴BO=DO，
∵GB=GD∴OG⊥BD   即AC⊥BD．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，和菱形的判定定理，等腰三角形的三线合一定理，运用平行线分线段成比例定理，找准对应关系是关键．