Question

21、Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不需要证明）

Answer 1

分析：（1）首先由已知直线m∥AB，可推出∠ECD=∠ADC，再由DE⊥BC，得DE∥AC，推出∠EDC=∠ACD，CD为公共边，所以推出
△EDC≌△ADC，得证．（2）首先由D是AB中点和（1）证得DE∥AC，得F为BC中点，即BF=CF，再由已知证△BFD≌△CFE，
则DF=EF，已知DE⊥BC，所以BC和DE垂直且互相平分，故得四边形BECD是菱形．（3）由四边形BECD是正方形可推出
∠ABC=45°，即得∠A=45°．

解答：（1）证明：∵直线m∥AB，
∴∠ECD=∠ADC，
又∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD，CD为公共边，
∴△EDC≌△ADC，
∴CE=AD；

（2）当D在AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：D是AB中点，DE∥AC（已证）
∴F为BC中点，即BF=CF，
∵直线m∥AB?∠EFC=∠DBF，
∠BFD=∠CFE，
∴BFD≌△CFE，
∴DF=EF，已知DE⊥BC，
所以BC和DE垂直且互相平分，
故得四边形BECD是菱形．
（3）当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．

点评：此题考查的知识点是正方形、菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是（1）由已知证△EDC≌△ADC．
（2）先证F是BC中点，再证△BFD≌△CFE，推出BC和DE垂直且互相平分．（3）由四边形BECD是正方形推出∠A=45°．