Question

已知y=ax²+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若点D为线段OA的三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若点P为抛物线上一点，当三角形PBC的面积等于三角形ABC面积的一半时，求P点的坐标．

Answer 1

解：（1）S_△ABC=BC•OA=×3×4=6；

（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）．
设直线CD的解析式为y=kx+b．
当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为y=-x+1；
当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为y=-x+2；

（3）根据题意，c=3，
所以
解得
所以抛物线解析式为y=x²-x+3；
若点P为抛物线上一点，当三角形PBC的面积等于三角形ABC面积的一半时，
BC不变，所以三角形PBC的高为，及P点的纵坐标为±，分别代入二次函数解析式得出P点的坐标；
当y=时，x=，即P点的坐标为：（，），（，），
当y=-时，x=，即P点的坐标为：（，-），（，-）．
分析：（1）由于A、B、C三点的坐标已知，得出BC，AO的长度，即可求出三角形ABC的面积；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，那么根据已知条件可以确定D的坐标为（0，1）或，（0，2），而C的坐标已知，利用待定系数法就可以确定直线CD的解析式；
（3）由于A、B、C三点的坐标已知，可直接求出二次函数解析式，然后根据点P为抛物线上一点，当三角形PBC的面积等于三角形ABC面积的一半，得出P点的纵坐标是：±，代入二次函数解析式即可求出P点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的解析式，等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．