Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C，AE⊥CE且交⊙O于点D．
求证：（1）DC=BC；
（2）BC²=AB•DE．

Answer 1

证明：（1）连接BD，OC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，又∵∠AEC=90°，
∴BD∥CE，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴弧DC=弧BC，
∴DC=BC．

（2）∵弧DC=弧BC，CE切⊙O于C，
∴∠DCE=∠BAC．
又AB是⊙O直径，
∴∠CED=∠ACB=90°．
∴△DCE∽△BCA即=，而DC=BC．
∴BC²=AB•DE．
分析：（1）连接BD．AB是⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角得，∠ADB=90°，又∠AEC=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知，BD∥CE，由两直线平行，内错角相等知，∠DAC=∠ACO，由等边对等角知，∠CAO=∠ACO，故有∠DAC=∠CAB，由同圆的等角对的弧相等得，弧DC=弧BC，再由弧对的弦相等得DC=BC；
（2）由弦切角定理知，∠ECD=∠DAC=∠CAB，又∠ACB=∠DEC，则由两个对应角相等的三角形是相似三角形知，△DCE∽△BCA，根据相似三角形的性质知，=，而DC=BC，故有BC²=AB•DE．
点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，等边对等角，同圆的等角对的弧相等和弧对的弦相等，弦切角定理，相似三角形的判定和性质求解．