Question

20．定义：长度比为$\sqrt{n}$：1（n为正整数）的矩形称为$\sqrt{n}$矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个$\sqrt{2}$矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
则四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD
∴$\frac{BG}{BD}=\frac{BF}{AB}$，即$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{BF}{1}$．
∴BF=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴BC：BF=1：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$：1．
∴四边形BCEF为矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，求线段GH的长．
（2）已知四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是$\sqrt{3}$矩形．
（3）将图②中的$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作5次后，得到一个“$\sqrt{n}$矩形”，则n的值是9．

Answer 1

分析 （1）由折叠即可得到DG=GH=CH，设HC=x，则有DG=GH=x，DH=$\sqrt{2}$x，根据DC=DH+CH=1，就可求出GH；
（2）利用阅读中证明“四边形BCEF为$\sqrt{2}$矩形”的方法就可解决问题；
（3）同（2）中的证明可得：将$\sqrt{3}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{4}$矩形”，将$\sqrt{4}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{5}$矩形”，将$\sqrt{5}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{6}$矩形”，…由此规律就可得到n的值．

解答 解：（1）如图，

由折叠可得：
DG=HG，GH=CH，
∴DG=GH=CH．
设HC=x，则DG=GH=x．
∵∠DGH=90°，
∴DH=$\sqrt{2}$x，
∴DC=DH+CH=$\sqrt{2}$x+x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1．
∴$\sqrt{2}$-1．

（2）证明：∵BC=1，EC=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
由折叠可得BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，∠EMN=∠CMN=90°．
∵四边形BCEF是矩形，
∴∠F=∠FEC=∠C=∠FBC=90°，
∴四边形BCMN是矩形，∠BNM=∠F=90°，
∴MN∥EF，
∴$\frac{BP}{BE}$=$\frac{BN}{BF}$，即BP•BF=BE•BN，
∴1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BN，
∴BN=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴BC：BN=1：$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$：1，
∴四边形BCMN是$\sqrt{3}$的矩形；

（3）解：同理可得：
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{4}$矩形”，
将$\sqrt{4}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{5}$矩形”，
将$\sqrt{5}$矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“$\sqrt{6}$矩形”，
…
所以将图②中的$\sqrt{3}$矩形BCMN沿用（2）中的方式操作5次后，得到一个“$\sqrt{9}$矩形”，
则n=9．

点评 本题主要考查了几何变换综合题，掌握轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识是解决问题的关键．