Question

12、如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于N，过点C作CM⊥CE，交FN于点M，
（1）求证：△ADE≌△CDE；
（2）求证：∠N=∠2；FM=MC=MN；
（3）试问当∠1等于多少度时，△ECN为等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）正方形是轴对称图形，本题把直线DB看作对称轴，用轴对称方法可证：△ADE≌△CDE；
（2）利用（1）及平行线可推出∠N=∠1，利用互余关系推出∠N=∠MCN，∠MFC=∠MCF，可得MC=MF=MN．
（3）根据三角形内角和定理可求∠1=30°．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
且BD为对角线，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB．
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．

（2）由△ADE≌△CDE得∠1=∠2，由AD∥BC得∠1=∠N，
∴∠2=∠N．

（3）当∠1=30°．
理由：∵CE=CN，
∴∠CEN=∠N=∠1=∠2=x，
在△CEN中，
由内角和定理得：x+x+90°+x=180°，
x=30°．

点评：本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识进行有关计算的能力，解答这类题时一般采取利用图形的全等的知识将分散的图形集中在一起，再结合图形的特征选择相应的公式求解．