Question

如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC．
（1）求∠DBC的度数；
（2）若C为弧BD的中点，BC=6，EC=5，求AE的长．

Answer 1

解：（1）∵∠A=50°，
∴∠BAC=2∠A=100°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
∴∠COD=80°，
∴∠DBC=∠DOC=40°，即∠DBC的度数是40°；

（2）∵BD是直径，
∴∠BCD=90°．
又∵C为弧BD的中点，
∴BC=DC，
则在等腰直角△BCD中，BC=6，BD=6，OC=OB=BD=3，
∴在直角△EOC中，EC=5，根据勾股定理知OE===，
∴BE=OB+OE=3+，DE=OD-OE=3-，
∵AE•EC=DE•BE，
∴AE===，即AE的长为．
分析：（1）利用圆周角定理、补角的定义求得弧CD所对的圆心角∠DOC=80°；然后根据”同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半“来求∠DBC的度数；
（2）根据圆心角、弧、弦间的关系和圆周角定理证得△BCD为等腰直角三角形，根据勾股定理和圆的性质求得OB=OD=BD=6；然后在直角△EOC中，利用勾股定理求得OE=；最后根据相交弦定理来求AE的长度．
点评：本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦间的关系等．解答（2）题时，也可以利用△ABE∽DCE的对应边成比例来求AE的长度．