Question

（2012•盐城）如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD₁⊥l于点D₁，过点E作EE₁⊥l于点E₁．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E₁与E重合），试说明DD₁=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系．（不需要证明）

Answer 1

分析：（1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD₁≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD₁=AB；
（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由DD₁⊥AB，可得∠DD₁A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD₁≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD₁=AH，同理EE₁=BH，则可得AB=DD₁+EE₁．
（3）证明方法同（2），易得AB=DD₁-EE₁．

解答：（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=90°，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠ABC=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∴∠ADD₁=∠CAB，
在△ADD₁和△CAB中，

∠DD1A=∠ABC ∠ADD1=∠CAB AD=CA

，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；

（2）解：AB=DD₁+EE₁．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠CHA=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，

∠DD1A=∠CHA ∠ADD1=∠CAH AD=CA

，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴DD₁=AH；
同理：EE₁=BH，
∴AB=AH+BH=DD₁+EE₁；

（3）解：AB=DD₁-EE₁．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠CHA=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，

∠DD1A=∠CHA ∠ADD1=∠CAH AD=CA

，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴DD₁=AH；
同理：EE₁=BH，
∴AB=AH-BH=DD₁-EE₁．

点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．